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Resolvendo problemas e equações de variação direta

Nas escolas, os alunos aprendem que, se todo valor de y em uma função é obtido pela multiplicação de cada valor de x por um número constante, essa função é uma variação direta. A fórmula usada para variação direta é y = kx, onde k é a constante da variação direta. Uma constante em variação direta é um número que se relaciona com as duas variáveis ​​que são diretamente proporcionais umas às outras. Os passos seguidos para resolver problemas de variação direta são:

  • Etapa 1: obtenha a equação de variação direta correta. A equação usada para resolver os problemas é y = kx. Ao resolver um problema de palavra de variação direta, no entanto, você deve considerar o uso de outras variáveis ​​além de x e y. Em outras palavras, use variáveis ​​que se aplicam ao problema de variação direta que está sendo resolvido. Entenda também o problema muito bem para determinar se há outras mudanças como quadrados, raízes quadradas e cubos na equação de variação direta.
  • Etapa 2: k é conhecido como a constante de proporcionalidade ou a constante de variação na variação direta. Use as informações fornecidas no problema para calcular o valor de k.
  • Etapa 3: Reescreva a equação de variação direta y = kx substituindo no valor de k.
  • Etapa 4: Use a equação de variação direta que você obteve na etapa 3 e as outras informações restantes no problema para responder às perguntas feitas. Lembre-se de incluir unidades na sua resposta final ao resolver problemas de palavras.

A intercepção y é aquele ponto em que o gráfico da linha cruza o eixo y. Resolver problemas de variação direta envolve fórmulas ou relações simples em que uma variável é igual a um termo. O termo pode ser linear, que é qualquer coisa com um "x", pode ser quadrático, que é qualquer coisa com x2, pode ser mais de um valor como ("r2h"), pode ser uma raiz quadrada como [Descrição : sqrt (4 – r ^ 2)] ou pode ser qualquer outra coisa que possa formar uma variação direta. Mas na maioria das vezes é um termo em uma fórmula que é multiplicada por uma constante k. Para ter certeza de que uma equação tem uma variação direta, a equação deve ser uma divisão ou multiplicação. Uma variação direta nunca envolverá subtração ou adição. Sempre que você receber um conjunto de valores x e y relacionados, conecte cada par na equação. Se o resultado obtido for um valor constante k todas as vezes, então isso é uma variação direta.

Exemplos de equações e aplicações de variação

Um bom exemplo de uma equação de variação direta é a fórmula para a área de um círculo [Descrição: A = (pi) r ^ 2]. A varia diretamente com o quadrado do raio r. A constante de variação direta é [Descrição: k = (pi)]. Outro bom exemplo de variação direta é a distância e a velocidade. Se sua velocidade for alta, você irá mais longe em pouco tempo. Então, como uma variável sobe, a outra sobe também e vice-versa. Na álgebra, a variação direta é expressa usando equações. Se você disser que y varia diretamente como x, significa que quando x é aumentado, y é aumentado pelo mesmo fator. Em outras palavras, x e y têm uma razão constante que é representada como y / x = k onde k é a constante de proporcionalidade. A relação de variação direta entre x e y também pode ser representada como y = kx, onde k novamente é a constante de proporcionalidade. A constante k pode ser calculada quando dado qualquer ponto, dividindo a coordenada y pela coordenada x. Por exemplo, se há uma variação direta entre x e y, e y é igual a 8 quando x é igual a 4. A constante de variação k = 8/4 que é igual a 2. E a equação para descrever essa variação direta é y = 2x.

A segunda lei de Newton é outro bom exemplo de variação direta. A lei é freqüentemente expressa como F = ma onde F é a quantidade de força aplicada a um objeto com massa m e aceleração a. A aceleração é expressa nas unidades metros / segundo2 e a força é dada em newtons. Se uma força de 175 faz com que um carrinho de compras acelere com uma aceleração de 2,5 metros / segundo2. Calcular a massa do carrinho de compras é simplesmente resolver a constante de proporcionalidade. Compare as fórmulas de variação direta y = kx e F = ma (a equação de variação direta e a segunda equação da lei de Newton), a equação tem a mesma forma. Y é a força e x é a aceleração. 175 = m * 2,5. Para encontrar m 175 / 2.5 = m = 70. A constante de variação direta é igual a 70, que é a massa. Para calcular a força necessária para acelerar o carrinho a 6 m / s2, substitua 6 por um e avalie a equação. Quando a é 6, F é 70 * 6, que é igual a 420 Newtons.

Outros exemplos de variação direta são: se y varia diretamente como x e x = 10 quando y = 2, a equação que descreve essa variação direta é k = 2/10 = 1/5. Y = 1/5. Se y varia diretamente como xea constante de proporcionalidade é k = 5/3, e você é solicitado a encontrar o valor de y quando x é igual a 9. Para substituir y, y = 5 / 3x = 5/3 ( 9) = 15.A constante de variação direta k é a mesma para todos os pontos. Por exemplo, a relação entre a coordenada y de qualquer ponto e a coordenada x desse ponto é constante. Isto implica que se você receber quaisquer pontos (x1, y1) e (x2, y2) que satisfaçam a equação y1 / x1 = k e y2 / x2 = k, então y1 / x1 = y2 / x2 para quaisquer dois pontos que satisfaçam a equação de variação direta. Se y varia diretamente quando xey é igual a 15 quando x é igual a 10 e você é solicitado a encontrar y quando x é igual a 6, então 15/10 = y / 6. 3/2 = y / 6, 6 (3/2) = y, so y é igual a 9.

Como plotar gráficos de variação no plano de coordenadas

A variação direta de um relacionamento pode ser demonstrada em um gráfico. Se você tiver todos os pontos de um gráfico, terá uma linha reta de 45 graus para demonstrar a linearidade. As linhas do gráfico têm linhas começando da origem e se estendendo até o infinito. Uma variação direta pode ser testada e comprovada com várias proporções. Se você representar graficamente todas as proporções diferentes que você tentar e assumir que as proporções são proporcionais, você obterá linhas com formas semelhantes. Os gráficos ajudam a visualizar a variação direta. Eles tornam a informação sobre variação direta mais convincente.

Para plotar um gráfico de variação direta, você primeiro determina a origem. O plano de coordenadas tem dois eixos: os eixos vertical e horizontal. Os dois eixos se cruzam em um ponto que é referido como a origem. Um plano de coordenadas é onde você representa graficamente uma função. Outro termo usado na representação gráfica da variação direta é a inclinação. Você deve aprender sobre uma inclinação de variação direta antes de aprender sobre equações lineares. Um declive de uma linha é a sua inclinação. Existem muitas outras maneiras de descrever uma inclinação na variação direta. Pode ser descrito como o aumento na corrida, como a mudança em y sobre a mudança em x ou também pode ser descrita como o gradiente da linha. Para determinar a inclinação de uma linha, você primeiro identifica dois pontos na linha. Você então usará esses dois pontos para descobrir a inclinação.

Uma linha horizontal na variação direta é plana e não tem inclinação. Matematicamente é expresso dizendo que a linha horizontal tem uma inclinação de zero. A linha vertical não possui um declive definido. No cálculo da inclinação, uma inclinação é a mudança em y sobre a mudança em x. Isto implica que se você tem dois pontos em uma linha (0, 0) e (2, 2), a inclinação é (y2-y1) / (x2-x1) = (2-0) / (2-0) = 1 . Para representar graficamente uma linha com um determinado declive, você deve descobrir como representar graficamente essa linha. Uma linha é expressa em uma forma de interseção de declive y = mx + b. Se você receber a equação y = 2x + 0, a linha terá um declive 2 e uma interceptação de 0. Isso implica que uma equação de variação direta é uma equação que é a inclinação que passa por (0, 0) e sua inclinação é igual a a constante de variação. E como a interseção y é zero, um ponto é (0, 0). Mas como a inclinação é 2, você terá que subir 2 para cada 1 que você ir para a direita. A linha subirá dois pontos para cada ponto que der certo. Isto implica que a mudança em y é 2 quando a mudança em x é igual a 1, o que é uma variação direta.

Outro exemplo gráfico de variação direta está na equação y = kx. A equação y = kx pode ser pensada como uma equação da forma y = mx + b onde b = 0 e m = k. Portanto, para representar graficamente uma equação de variação direta, você começa no ponto de origem (0, 0) e prossegue como faria ao representar qualquer inclinação. Como alternativa, se você tiver um ponto, desenhe uma linha reta entre (0, 0) e esse ponto específico e, em seguida, estenda a linha em ambas as extremidades. Se y varia diretamente como xe a constante de variação é & frac12 ;, você pode representar a variação em um gráfico e a equação que descreve a variação direta é y = 1 / 2x. Se você precisar calcular a constante de variação com um gráfico de variação direta, basta calcular a inclinação desse gráfico.

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