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Os aspectos de uma função de um para um

Uma função simplesmente fornece uma saída, dependendo da entrada fornecida. Nas funções, um valor é fornecido e a função executa algumas operações para dar uma resposta. Por exemplo, a função f (x) = x + 1 adiciona 1 a qualquer valor que você der a ele. Se você der um 5, a função lhe dará um 6: f (5) = 5 + 1 = 6. As funções têm requisitos que devem ser atendidos. Pode ser o valor x ou a entrada e eles não podem ser vinculados a mais de uma resposta. Isso significa simplesmente que você não pode atribuir um valor a uma função e lhe dá duas respostas diferentes. Em uma função de um para um, existe uma regra que fornece uma correspondência entre elementos em dois conjuntos. Domínio e intervalo são usados ​​de forma que cada elemento em um domínio corresponda a apenas um elemento no intervalo. Um tipo de função um para um é uma função na qual cada elemento em um intervalo dessa função corresponde a um elemento de um domínio. Uma função de um para um é frequentemente expressa como 1-1. É importante notar que y = f (x) é uma função somente quando passa no teste de linha vertical. Para uma função qualificar para ser uma função de um para um:

  • Ele precisa passar pelo teste de linha horizontal e pelo teste de linha vertical. O teste de linha horizontal indica que um gráfico representa uma função um a um se cada linha horizontal cruzar esse gráfico apenas uma vez e o teste de linha vertical indicar que uma função deve ter apenas uma saída y para cada entrada única x.
  • Não há dois elementos diferentes no domínio que devem ter o mesmo elemento no intervalo.

Um a um tipo de funções são representadas algebricamente como x1 e x2. Os x1 e x2 são quaisquer elementos do domínio e uma função é representada por f (x). f (x) é uma função de um para um se x1 não for igual a x2, o que significa que f (x1) também não é igual a f (x2). Ou se f (x1) é igual a f (x2), então x1 é igual a x2. As funções um a um preservam a distinção, pois nunca mapearão elementos de domínio distintos para os elementos de seu intervalo. Uma função relaciona todos os valores da variável x input a um único valor da variável dependente y, que é a saída. É possível ter duas ou mais entradas dando uma saída similar. Considere a função y = x 3 – 6x 2 + 11x – 6. Usando a substituição simples, as entradas x = 1, x = 2 ex = 3 dão a mesma saída y = 0. Neste caso particular, três valores de x são relacionado a um valor de y que significa que é uma função de três para um e não um para um tipo de função. Uma função na qual a mesma saída nunca se repete para entradas diferentes é uma função de um para um.

Exemplos de funções um para um

Em uma função um para um, qualquer y dado tem apenas um x que pode ser emparelhado com ele. O um para um tipo de funções também são conhecidos como injetores. Se f (x) = x & sup3; é uma função de um para um, esta função cúbica implica que todo valor x tem um valor y único que não é usado pelos outros elementos x. Esta é uma característica de uma função de um para um. Vamos comparar {(2, 3), (4, 5), (1, 5), (3, 4)} e {(2, 3), (4, 2), (1, 5), (3, 4)}. A primeira função tem (4,5) e (1,5) o que implica que as entradas 4 e 1 fornecem uma saída semelhante 5. A primeira função aqui não é um tipo de função um para um. Não há repetição de saída na segunda função, o que significa que a segunda função é uma função de um para um.

Se for solicitado que você compare uma função y = x2 com a função y = 3x + 1, a primeira função repete a saída de y = 4 para as entradas x = 2 e x = −2 (4 = 22 e 4 = (−2) 2. A função é do tipo um para um .. As saídas da segunda função não são repetidas o que implica que a função é uma função de um para um.No teste de linha horizontal, uma linha horizontal tem todos os pontos que tem suas coordenadas y iguais ao mesmo número.Se as coordenadas y são iguais a um número 2, então a linha pode ser descrita em uma equação como y = 2, o que implica que cada valor de x está relacionado a 2. Indo pela definição de uma função de um para um, no máximo, um valor de x está relacionado a um dado valor de y Segue-se que uma linha horizontal intercepta o gráfico de uma função uma vez.Um gráfico de uma função em um plano de coordenadas é um gráfico de uma para uma função se não houver uma linha horizontal cruzando o gráfico mais de uma vez.

Funções de um para um também podem ser funções inversas. Se f for um tipo de função um para um com um domínio A e um intervalo B, sua função inversa será representada como f-1 e terá um domínio B e um intervalo A. Ele é definido por f −1 (y) = x somente se f (x) = y para qualquer y em B. Para obter o inverso de uma função um para um, você começa substituindo a função f (x) por y. 2. O próximo passo é trocar x e resolver a equação para y. A equação final será f −1 (x). Se f é uma função um para um com domínio A e gama B e sua função inversa satisfaz f −1 (f (x)) = x para cada x em A e f (f −1 (x)) = x para cada x em B, então o inverso de f −1 é f. Uma função inversa troca o domínio e o intervalo. O domínio de f = Intervalo de f −1 e o intervalo de f = domínio de f −1. Um gráfico de uma função inversa é obtido refletindo o gráfico de f através da linha y = x e é somente a função de um para um que pode ter um inverso.

Verificando funções um a um

Você pode determinar se as funções são graficamente de um para um tipo usando o teste de linha horizontal, que indica que um gráfico representa uma função de um para um se cada linha horizontal cruzar esse gráfico apenas uma vez. Mas você não pode provar que uma função é uma função de um para um apenas olhando para o gráfico. Isso ocorre porque um gráfico é uma pequena parte de uma função e geralmente é necessário provar que é uma função de um para um em todo o domínio. Existem dois métodos principais para verificar se uma função é uma para uma função.

O primeiro método está mostrando se f (x1) é igual a f (x2), então x1 é igual a x2. Isso significa simplesmente que, se uma função tiver o mesmo valor em dois pontos, esses pontos devem ser iguais. Em outras palavras, se uma função contiver o mesmo valor em dois pontos, esses pontos nunca poderão ser diferentes. Essa declaração é simplesmente o que o teste de linha horizontal indica. Um gráfico é uma função um para um quando não há dois valores x que são atribuídos ao mesmo valor y. Se você for solicitado a verificar se f (x) = 1 é uma função de um para um, você começará supondo que existe algum x1 e x2 nesse f (x1) = f (x2). Isto significa que 1×1 = 1×2 mas 1×1 = 1×2⇒1×1−1×2 = 0⇒x1 − x2x1x2 = 0⇒ o numerador deve ser igual a zero. Por exemplo, x2 − x1 = 0 ⇒ x2 = x1.

O segundo método de verificação de que uma função é um para um tipo é mostrando que uma função está sempre diminuindo ou aumentando sempre. E sempre passará no teste da linha horizontal. Uma função f aumenta seu domínio sempre que x2 for maior que x1. Isso significa que f (x2) é maior que f (x1). À medida que x se torna maior, f (x) também cresce. Uma função f diminui em seu domínio sempre que x2 for maior que x1. Isso significa que f (x1) é maior que f (x2). Conforme x cresce, f (x) se torna menor.

Para verificar se y = 9-x2 é uma função de um para um, primeiro você precisará resolver a equação para encontrar o valor x. y = 9 – x 2 0 = 9 – x 2 – y x 2 = 9 – y Se y <9 então 9 - y é positivo. A equação y = 9-x2 tem duas soluções para x, x = √ 9 - y ou x = - √ 9 - y. Por exemplo, se y = 5, encontramos x = 2 ou x = -2. As entradas 2 e -2 dão o mesmo resultado 5. Isso prova que a função y = 9-x2 é uma função de um para um. Funções são fundamentais na ciência e matemática. Sempre que você tiver dois conjuntos de itens x e y, as funções demonstrarão os relacionamentos entre eles, fornecendo aos valores x seus valores y correspondentes. Os vários métodos para verificar se as funções são funções um para um mostram que você nunca pode ter dois valores de entrada diferentes de x que produzam os mesmos resultados y.

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