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Os cálculos de divisão longa polinomial e usos

Uma divisão longa polinomial é semelhante a uma longa divisão de números. O método de divisão longa polinomial é usado para escrever expressões racionais impróprias como a soma de uma expressão racional adequada e um polinômio. A divisão longa polinomial pode ser feita à mão porque separa uma divisão complexa em uma divisão menor. Polinômios são expressões que contêm variáveis ​​aumentadas para qualquer poder e são multiplicadas por qualquer tipo de número. Ao realizar uma divisão polinomial longa, você deve conhecer alguns vocabulários, como a palavra “termo”, porque eles serão mencionados durante todo o processo de divisão longa polinomial. Alguns outros vocabulários usados ​​na divisão longa polinomial incluem variável e constante: a parte de uma equação algébrica que não muda. Há também uma expressão numérica e algébrica em divisão longa polinomial. Uma expressão numérica tem operações e números e a expressão algébrica é quase similar, mas tem variáveis. Outro vocabulário de divisão longa polinomial é o quociente que é o resultado obtido quando você divide um número por outro. Outras coisas que você precisa observar nos cálculos de divisão longa polinomial são:

  • Você nunca deve escrever o número misto de divisão longa polinomial da mesma forma que números mistos numéricos são escritos. Se você indicar apenas a parte fracionária do polinômio, ela será interpretada como uma multiplicação.
  • Esteja ciente de que vários livros formatam a divisão longa do polinômio de maneira diferente. Quando você está escrevendo as expressões no topo do sinal de divisão, algumas escrevem os termos acima do mesmo termo de grau e outros escrevem acima do termo que está sendo trabalhado. A diferença é que os termos na parte superior são movidos para a direita, mas tudo o resto é o mesmo. Você pode escolher o formato de divisão longa polinomial que preferir.
  • Para que uma divisão longa de polinômios seja bem-sucedida, você precisa escrever com clareza e não se esqueça de alterar os sinais ao subtrair. Você precisa trabalhar com cuidado e alinhar bem suas colunas.
  • Da mesma forma que você executa uma divisão longa com números simples onde você tem um número que você divide em outro número e então configura o símbolo de divisão e insere os dois números e começa a calcular, é a mesma maneira que a divisão longa polinomial funciona.

    O algoritmo de divisão longa polinomial implementa a divisão euclidiana de polinômios, que começa a partir de dois polinômios A e B. A é o dividendo (número dividido) e B é o divisor (o número divisor). Se B não é um zero, você obtém o quociente Q e um resto R tal que A = BQ + R e R é igual a zero ou o grau de R é menor que o grau de B. Estas são as condições que definem exclusivamente R e Q. Isto significa simplesmente que R e Q não dependem do algoritmo usado para calculá-los.

    Como dividir por um polinômio que tem mais de um termo

    O primeiro passo no processo de divisão longa polinomial é assegurar que o polinômio seja expresso em ordem decrescente. Se houver um termo ausente, o zero será usado para preenchê-lo. O segundo passo na divisão longa do polinômio é dividir o termo com a maior potência no símbolo de divisão por um termo que tenha a maior potência fora do símbolo de divisão. O terceiro passo é multiplicar a resposta pelo polinômio que está na frente do símbolo de divisão. O quarto passo é subtrair e derrubar o próximo termo e o quinto passo está repetindo os passos 1,2,3 e 4 até você não ter mais termos para derrubar. O sexto e último passo no processo de divisão longa polinomial é escrever a resposta final. O termo que permanece depois da última subtração é o restante e tem que ser escrito como uma fração na sua resposta final.

    Exemplo1: Divide:

    Para realizar esta divisão longa polinomial, você começará garantindo que o polinômio esteja em ordem decrescente e use um zero para preencher os termos que faltam: Em seguida, você dividirá o termo com o poder mais alto que está dentro do símbolo de divisão por um termo fora do símbolo de divisão que possui o maior poder. Neste caso você tem x3 dividido por x que é.Você então distribuirá ou multiplicará essa resposta pelo polinômio na frente do símbolo da divisão. Multiplique x2 e x + 2, que é.O próximo passo nesta divisão longa polinomial é subtrair e derrubar o próximo termo. Qual é .Em seguida, você dividirá o termo com o maior poder dentro do símbolo da divisão por um termo que esteja fora do símbolo da divisão e tenha um alto poder. Nesse caso, você tem –6x2 dividido por x, que é –6x.Agora multiplique ou distribua a resposta pelo polinômio na frente do símbolo da divisão: multiplique –6x e x + 2, que é.Menos e derrubar o termo que segue:.Novamente divida esse termo com o poder mais alto dentro do símbolo de divisão com o termo com o poder mais alto fora do símbolo da divisão. Neste caso, 14x será dividido por x, que é +14 para obter.Multiplique a resposta pelo polinômio que está na frente do símbolo de divisão. Multiplique 14 e x + 2, o que será.O próximo passo é subtrair novamente, mas você notará que não há mais termos para derrubar:.Agora você vai escrever a resposta final. O prazo restante após a última subtração é o restante e você o escreverá como uma fração na sua resposta final. A resposta final para a divisão longa polinomial será.

    Exemplo 2: Divida x2 - 9x - 10 por x + 1

    O primeiro passo para esta divisão longa polinomial é configurar a divisão. Você pode ignorar os outros termos e olhar para x como o divisor e o x2 principal como o dividendo. Voce terá.Se você dividir o x2 principal dentro pelo x principal na frente, você receberá um x. Então você vai colocar um x no topo:.Agora pegue x e multiplique-o pelo divisor x + 1. Primeiro, você irá multiplicar o x no topo pelo x ao lado e carregar o x2 na parte inferior:.Você então multiplicará o x pelo 1 e carregará o 1x na parte inferior:O próximo passo nesta divisão longa polinomial é desenhar a barra "igual" para que você possa executar a subtração. Para subtrair polinômios, você precisa alterar todos os sinais na segunda linha.Você terá onde você vai adicionar e o primeiro termo x2 será cancelado para dar.Carregue o último termo, o "-10" do dividendo para obter. Para prosseguir com esta divisão longa polinomial, divida o valor de –10x pelo x, você obterá um –10, então você irá colocá-lo no topo:.Multiplique o –10 que está no topo pelo x da frente que está ao lado e carregue o –10x até o fundo:.Você então multiplicará o valor de –10 por 1 e depois levará o valor de –10 até o fundo:. Desenhe a barra de igualdade e altere os sinais em todos os termos que aparecem na linha inferior da seguinte forma:.O último passo nesta divisão longa polinomial é adicionar para baixo.A solução para dividir x2 - 9x - 10 por x + 1 será x - 10. E como o restante dessa divisão longa polinomial é zero, a divisão é par. Quando você faz uma divisão regular com números e descobre que a divisão é par, isso implica que o número dividido por você é um dos fatores daquele número que você está dividindo. Por exemplo, se você dividir 50 por 10, a resposta será 5 sem resto; isso é porque 10 é um fator de 50. No caso da divisão longa polinomial acima, o resto zero significa que x + 1 é um fator de x2 - 9x - 10. Você pode confirmar isso ao fatorar o dividendo quadrático inicial, x2 - 9x a 10

    Aplicações de polinômios

    Uma divisão longa polinomial pode ser usada quando você tem uma ou mais raízes de um polinômio. Do teorema da raiz racional, se uma raiz r de um polinômio dado P (x) que tem um grau n é fornecida, então você pode usar o método de divisão longa polinomial para o fator P (x) na forma (xr) (Q ( x)) onde Q (x) é um polinômio com um grau n-1. Q (x) é o quociente obtido do processo de divisão longa polinomial. E como r é a raiz de P (x), o restante deve ser zero.

    Da mesma forma, se você receber mais de uma raiz e um fator linear xr for uma das raízes e r puder ser dividido para obter Q (x), um termo linear em outra raiz s pode ser dividido em Q (x ) e assim por diante. Alternativamente, todos eles podem ser divididos de uma só vez. Por exemplo, os fatores lineares xs e xr podem ser multiplicados juntos para obter um fator quadrático x2 - (r + s) x + rs que será então dividido no polinômio inicial P (x) para encontrar o quociente do grau n- 2

    Com esse método de divisão longa polinomial, às vezes, todas as raízes de um polinômio de grau superior a quatro podem ser calculadas, embora às vezes isso não seja possível. Por exemplo, se o teorema da raiz racional é usado para encontrar uma única raiz de um polinômio quântico, então ele pode ser usado na obtenção de um quociente de quarto grau e a fórmula explícita da raiz de um polinômio de quarto grau pode ser usada para obter o restante. quatro raízes.

    O processo de divisão longa polinomial também pode ser usado para encontrar a equação de linhas tangentes. A tangente a um gráfico de qualquer função é definida pelo polinômio P (x) em um determinado ponto x = r. e se R (x) é o resto depois de dividir P (x) por (x - r) 2 então a equação da linha tangente no ponto x = r para o gráfico de uma função y = P (x) é y = R (x ) independentemente de r ser ou não a raiz polinomial.

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