Derivação da integração por fórmula de peças

O teorema da integração por partes, também chamado de “integração parcial”, é um teorema que se refere à integral de um produto de uma função à integral de sua derivada e derivada. O teorema das integrações por partes é usado principalmente na transformação da anti-derivada de um produto de uma função em um anti-derivativo no qual uma solução pode ser encontrada facilmente. A regra de integração por partes pode ser derivada em apenas uma linha, integrando a regra do produto de diferenciação. Em termos simples, a integração por partes é a forma de integração da regra de diferenciação do produto. A idéia principal de integração por partes é alterar uma integral que você não pode resolver em um produto simples, menos a integral que você pode resolver. Sua fórmula é:.

O u e v na fórmula de integração por partes estão em ordem alfabética. Com isso, é fácil lembrar que a integral no lado direito da integração pela fórmula de partes é a mesma que a integral no lado esquerdo da integração por fórmulas de peças, exceto que u e v são trocados. Em suma, se você for usar a integração por partes para encontrar, primeiro precisará dividir essa integral em u e dv para ajustá-la na integração pela fórmula de peças. Neste caso, selecione ln (x) para ser u e deixe todo o resto ser dv, assim: Em seguida, diferencie u para obter du e integre dv para encontrar v. Finalmente, você irá conectar tudo na integração por fórmula de partes. A integração completa por solução de peças é:

A integração por solução de peças é Se u = u (x) e du = u ′ (x) dx, onde v = v (x) e dv = v ′ (x) dx, então o teorema de integração por partes afirma que: Ou simplesmente:

Exemplos de integrais

Se você precisar avaliar a integração por partes,

O problema em usar a integração por partes aqui é o x que aparece antes do exponencial. Se este x não estava lá, você poderia resolver a integral facilmente. Esteja ciente de que ao calcular a integração por partes, qualquer coisa que você selecionar para ser u será diferenciada. Escolher é uma escolha melhor, pois depois de diferenciar, o x desaparecerá. Depois de escolher você, você sabe que dv deve ser qualquer outra coisa que resta. As escolhas para u, dv, du e v serão: A integral será: Depois de ter resolvido para a última integral, adicione a constante de integração para encontrar sua integração final por solução de peças.

Existe também uma integração por partes para as integrais definidas. Uma integral definida é uma integral que é escrita como a diferença entre os valores integrais em um determinado limite inferior e superior das variáveis ​​independentes. A integração por fórmulas de partes para as integrais definidas é,

O primeiro termo integração por partes é uma notação de avaliação integral padrão. Tudo o que você faz aqui é avaliar o termo, uv neste caso, b então menos a avaliação do termo em a. A integração por fórmulas de partes não é necessária aqui, pois você sabe que, ao resolver para integrais definidas, o que você precisa fazer é calcular primeiro a integral indefinida, seguida pela avaliação. Um exemplo de uma integral definida usando a integração por partes é Esta é a mesma integração no exemplo anterior de integração por partes, então você usará o mesmo ue dv para obter, Outro exemplo é Existem dois métodos que podem ser usados ​​para resolver este exemplo através da integração por partes. Muitas vezes, a primeira coisa que você pode fazer é multiplicar o cosseno através dos parênteses, dividindo assim a integral e então fazer a integração por partes na primeira integral. Embora este seja um método perfeitamente aceitável para resolver o problema, é um pouco mais complexo. Então, ao invés de dividir a integral, use as opções para u e dv.

Outro exemplo de integração por partes é:

Neste exemplo, há apenas uma função na integral e nenhum polinômio antes do logaritmo. Para resolver isso através da integração por partes, a maioria das pessoas tentará ajustá-lo nas opções ue dv, como nos exemplos anteriores. Isso cria um problema real porque v deve ser, Em outras palavras, você precisa saber a resposta antes de começar a resolver o problema. Isso significa simplesmente que esse método de integração por partes não funcionará. Além disso, observe que com esse método, que também é um problema e uma das principais razões pelas quais esse método não funcionará. Portanto, se um logaritmo não pertence ao dv, ele deve pertencer ao u. Portanto, use o seguinte método: A integral então será, O outro exemplo de integração por partes é avaliar a integral: Usando a mesma integração por padrões de partes, você e o uv provavelmente serão os seguintes. No entanto, assim como no exemplo anterior, isso não funcionará porque não é fácil computar v. Esta integral não é simples, mas se você tivesse um x2 na integral junto com a raiz, você pode fazer a integral facilmente usando a substituição. Além disso, observe que você tem muitos xs na integral original. Em vez de fazer com que todos os x (fora da raiz) sejam u, basta dividi-los da seguinte forma. Agora você pode facilmente encontrar v e depois de usar a integração por partes que você recebe,

Determinando quando integrar por partes e quando usar a substituição

A substituição e a integração por partes parecem semelhantes porque os resultados encontrados na regra da cadeia são um produto. Você precisa tentar usar substituição primeiro e se a substituição falhar; você pode então usar a integração por partes. Por exemplo, você pode ver que existe uma função dentro de outra função (como). Isso mostra isso. Isto implica que a outra parte do produto deve estar relacionada com a derivada. E caso não seja, a substituição não será a abordagem correta. No entanto, neste caso particular, funciona, então você está no caminho certo.

Alguns dos casos em que a integração por partes será útil estão na função logarítmica ln x e nas primeiras quatro funções trigonométricas inversas (arccos x, arctan x, arcsin x e arccotx). Acima desses casos, usar integração por partes é muito importante para integrar o produto de mais de um tipo de função. Por exemplo: xn x, x2 sen x, x arcsec x e ex cos x. Note que em cada caso você pode facilmente conhecer o produto de funções, já que a variável x aparece várias vezes na função. Sempre que você se deparar com a integração do produto de funções, deverá considerar a substituição de variáveis ​​antes de decidir usar a integração por partes. Por exemplo, x cos (x2) pode ser resolvido por substituição e não integração por partes. E quando você determinar que precisa usar a integração por partes, seu próximo passo será dividir a função e atribuir as variáveis ​​u e dv. Para atribuir variáveis ​​a u e dv você deve sempre selecionar a primeira função para igual a u e o conjunto restante do produto (incluindo dx) ser igual a dv.

Você pode usar integração por partes para integrar funções de log, formas trigonométricas inversas, um log composto por uma equação algébrica, equações algébricas multiplicadas por seno, cosseno ou exponencial, seno multiplicado por exponencial, cosseno multiplicado por um exponencial e vários outros. A regra mais básica no uso da integração por partes é determinar qual termo integrar e qual o termo a ser diferenciado.

Com muita prática no uso de integração por partes, você poderá determinar facilmente quando usar a substituição e quando usar a integração por partes. E há problemas que podem ser resolvidos pela substituição e pela integração por partes e há outros que não podem ser resolvidos por substituição ou integração por partes, mas que é coberto por outro curso no campo do cálculo.

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