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Como calcular a distância entre dois pontos com precisão

É bem conhecido de todos os alunos do ensino médio que qualquer ponto no plano é caracterizado por suas coordenadas (x, y). Eles coincidem com as coordenadas do vetor 0A que vem do ponto 0, que é a origem das coordenadas. Vamos supor que A e B sejam pontos arbitrários no plano com as coordenadas (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente. Neste caso, o vetor AB possui, obviamente, as coordenadas (x1 – x2, y2 – y1). Sabe-se que o quadrado do comprimento do vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas. Portanto, a distância d entre os pontos A e B, ou, equivalentemente, o comprimento do vetor AB, é definida pela seguinte condição: d2 = (x1 – x2) 2 + (y2 – y1) 2. Essa fórmula permite que o aluno encontre a distância entre dois pontos no plano, desde que ele saiba as coordenadas desses pontos. Toda vez que falamos sobre as coordenadas de um ponto no plano, nos referimos a um sistema de coordenadas bem definido x0y. De um modo geral, um sistema de coordenadas no plano pode ser escolhido de forma diferente, a fim de calcular a distância entre dois pontos com um maior grau de precisão. Assim, em vez do sistema de coordenadas x0y, podemos considerar o sistema de coordenadas x’0y ‘, que é obtido girando os eixos do antigo ponto de partida 0 no sentido anti-horário por um ângulo α.

Se um ponto no plano dentro do sistema de coordenadas x0 tiver as coordenadas (x, y), então ele terá diferentes coordenadas (x ‘, y’) no novo sistema de coordenadas x’0y ‘. Como exemplo, podemos considerar o ponto M localizado no eixo 0x ‘e espaçado por uma distância igual a 1 a partir do ponto 0. Obviamente, este ponto tem as coordenadas (cos α, sin α) neste sistema de coordenadas x0y eo coordena (1,0) no sistema de coordenadas x’0y ‘. As coordenadas de quaisquer dois pontos A e B no plano dependem de como o sistema de coordenadas planas foi definido. No entanto, neste caso, a distância entre dois pontos não depende do método de configuração do sistema de coordenadas escolhido.

Estimando a distância entre dois pontos em coordenadas esféricas

Suponhamos que A é um ponto em um sistema de coordenadas predeterminado. A projeção ortogonal do ponto A no plano Oxy é denotada como A ‘, e o comprimento do vetor OA – como r. O ângulo de inclinação do vetor para o plano Oxy pode ser denotado como ψ, e assumimos que ele muda de -90o para + 90o. Se o ponto A estiver localizado na metade superior do nosso sistema de coordenadas, então o ângulo ψ é considerado positivo e, se estiver localizado na metade inferior, o ângulo é negativo. O ângulo entre o vetor e o eixo Ox é denotado como φ. Normalmente, o trio (r, ψ, φ) é chamado de coordenadas esféricas do ponto A no espaço. As coordenadas cartesianas (x, y, z) do ponto no espaço são expressas através de suas coordenadas esféricas de acordo com as seguintes fórmulas: 1) x = r cos ψ cos φ; 2) y = r cos ψ sin φ; 3) z = r sin ψ.

As coordenadas esféricas compreendem vários conceitos exclusivos relevantes para medir a distância entre dois pontos, a saber:

  • Paralelo Os pontos da esfera que têm o mesmo ângulo forms formam uma circunferência, que é conhecida como paralela.
  • Meridiano. Os pontos da esfera que têm o mesmo ângulo φ formam um semicírculo, conhecido como meridiano.
  • Ortodrome. O arco de um grande círculo que une dois pontos da esfera é o caminho mais curto para a área entre os dois pontos. Esse caminho é chamado de ortódromo e uma tradução grega significa “sequência direta”
  • Loxodrome. A curva formando ângulos iguais com diferentes meridianos é chamada de linha de rumo ou loxodrome, e uma tradução grega da segunda significa “uma corrida oblíqua”

Como a distância entre dois pontos é calculada na topografia militar

Se acontecer de você precisar saber como a distância entre dois pontos é estimada pela inteligência militar, aqui está um guia completo que o ajudará a ter uma boa noção do assunto. Primeiramente, os dados necessários para o movimento azimutal (direções de azimute magnético entre os pontos de virada ao longo da rota e a distância entre eles) são determinados usando um mapa de grande escala. A preparação dos dados para o movimento azimutal inclui a seleção da rota, bem como o estudo de um mapa e pontos de referência em locais específicos da rota; Além disso, um especialista precisa determinar as direções do azimute magnético e as distâncias entre os pontos de referência selecionados, transferir os dados obtidos no mapa ou elaborar um esquema do movimento.

Estudando uma área, deve-se avaliar a sua passabilidade, mascaramento e propriedades de proteção, bem como definir obstáculos intransponíveis e intransponíveis e rotas alternativas. Fazer um rastreamento de uma rota depende da natureza do terreno, da presença de pontos de referência e das condições especiais do próximo movimento. O principal objetivo é medir exatamente a distância entre dois pontos e escolher uma rota que permita que você se mova rápida e secretamente para alcançar o destino (um ponto final ou instalação). Uma rota deve ser selecionada de tal forma que tenha um número mínimo de voltas. Os pontos de virada em uma rota devem ser programados e conectados a pontos de referência que possam ser facilmente identificados na área (por exemplo, construções de torres, interseções de estradas, pontes, viadutos, marcas geodésicas). Um especialista circula pontos de referência selecionados e os conecta por linhas retas. As linhas de rota que não interceptam a linha de grade vertical podem ser prontamente continuadas até a interseção que é a mais próxima delas, de modo que seria mais fácil medir os ângulos direcionais posteriormente. Os últimos são medidos usando um transferidor ou milrule, que fornecem uma medição precisa do ângulo com um erro de ± 1-2 °. Mais tarde, o azimute medido de uma direção é convertido em rolamentos magnéticos. A distância entre dois pontos na rota é medida com um paquímetro e uma régua com divisões milimétricas. Se uma rota é planejada para um terreno montanhoso, então as distâncias medidas no mapa devem ser corrigidas para distorções de relevo.

Um esquema de movimento pode ser criado de acordo com a seguinte seqüência. Um cartógrafo transfere o ponto de partida, os pontos de referência relacionados aos pontos de virada e o ponto final de uma rota para uma folha de papel em branco. Todos os pontos de referência (ou pontos de referência) do esquema devem ser colocados em um novo esquema, similarmente à sua posição em um mapa copiado. Além disso, todos os marcos devem ser representados em um esquema usando sinais convencionais análogos aos do mapa. Em seguida, os marcos devem ser numerados e conectados por linhas retas. Cada linha deve ser assinada com os detalhes iniciais do movimento na forma de uma fração, onde o numerador é o azimute magnético e o denominador é a distância entre dois pontos em metros e o tempo do movimento em minutos. Se o movimento do azimute for executado a pé, a distância em metros será convertida em pares de passos e fixada no esquema entre parênteses. Depois disso, a seta “norte-sul” é adicionada ao esquema, bem como todas as rotas adicionais intermediárias ou auxiliares possíveis.

Para facilitar a sustentação da direção de um movimento, os especialistas usam pontos de referência auxiliares e de apoio, além dos temporários. Esses marcos geralmente são corpos celestes visíveis: o Sol, a Lua e estrelas brilhantes. Se você precisar usá-los, verifique a direção do azimute após cada 15 minutos do movimento, já que os corpos celestes (exceto a Estrela do Norte) estão constantemente se movendo pelo céu. Se você se mover na direção deles sem controlar seu movimento por um longo tempo, é altamente provável que você perca a rota correta em breve. Para se manter em movimento nas direções escolhidas, você também pode usar referências lineares ou traços de veículos. Quão preciso o resultado de um movimento dependerá da natureza do terreno, das condições de visibilidade e, sem dúvida, dos erros na determinação dos rolamentos e da medição da distância entre dois pontos. Normalmente, o desvio do ponto de articulação. que você precisa para atingir valores não mais que 1/10 da distância percorrida, ou seja, 100 m por quilômetro da distância percorrida. Portanto, se uma distância predeterminada fosse coberta e o ponto de referência pretendido não se tornasse visível, seria necessário procurar dentro de um círculo, cujo raio é igual a 1/10 da distância percorrida desde o ponto de viragem anterior. Em alguns casos, como o esqui de inverno, a distância entre dois pontos é medida, levando em conta o tempo e a velocidade. Para evitar a perda de orientação devido a uma medição de distância imprecisa, um observador deve escolher pontos de referência facilmente visíveis à distância. Além disso, em alguns casos, um ponto de referência dificilmente pode ser visto por trás de um obstáculo ou é difícil identificá-lo ao abordá-lo. Para verificar a exatidão de uma rota para o ponto de referência, recomenda-se instalar um marco temporário ou criar entalhes em uma árvore. Ao mover-se para o próximo ponto, a direção do azimute magnético para o ponto anterior A deve ser determinada; este azimute reverso normalmente difere do azimute de uma direção predeterminada de um movimento nesta seção da rota por 180. Somente depois de medir a distância entre dois pontos estabelecendo a conexão com o ponto A de acordo com o azimute reverso e assegurando que a direção para o o ponto A coincide exatamente com a rota selecionada, é possível que um observador continue o movimento.

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